Pitagora di Samo, il pitagorismo e la crisi della aritmo-geometria pitagorica

I filosofi ionici rispondevano al problema del principio materiale di tutte le cose indicando una sostanza fondamentale: l’acqua di Talete, l’indefinito di Anassimandro, l’aria di Anassimene, la terra di Senofane, il fuoco di Eraclito. Con Pitagora e Parmenide il pensiero occidentale si rivolge al carattere della stessa estensione materiale.

Della ionica Samo Pitagora si stabilì nella italica Magna Grecia: fondò una scuola a Crotone e a Crotone principalmente operò. A Pitagora risale la tradizione pitagorica ed il pitagorismo dei pitagorici. Per i pitagorici principio di tutte le cose è il numero. Heisenberg rilevava in questo modo che per i pitagorici il rapporto matematico semplice delle lunghezze di corde in vibrazione simultanea creava proprio il suono armonico musicale. A considerare il numero sostanza, natura, essenza stessa della realtà i pitagorici furono effettivamente ispirati dalla musica: la musica era da loro praticata a scopo religioso di purificazione. I pitagorici posero le basi dell’acustica musicale e dell’armonia: l’altezza dei suoni dipende dalla lunghezza delle corde sonore, vibranti con frequenza direttamente proporzionale all’una ed inversamente proporzionale all’altra, e questa lunghezza è espressa da un numero intero; 2 corde sonore ugualmente tese fatte vibrare contemporaneamente producono un suono totale gradevole e armonico soltanto se il rapporto tra le loro lunghezze è quello di due piccoli numeri interi, e si ha così un accordo musicale.

Se l’esperienza musicale e la regolarità matematica dei fenomeni naturali suggerivano loro che tutte le cose si risolvessero in numeri interi o in rapporti di numeri interi, l’aritmetica dei numeri razionali era dai pitagorici inquadrata in un contesto fisico-geometrico.

Per i pitagorici la materia è costituita di corpuscoli uguali fra loro, e questi punti materiali estesi indivisibili sono le unità fondamentali delle cose fisiche: ogni cosa ha una forma, ed è quindi essenzialmente una figura geometrica; ma le figure geometriche consistono di piani, i piani di linee e le linee di punti; il punto è allora unità, cioè numero. I pitagorici attribuivano così al punto geometrico una estensione, e ritenevano quindi i segmenti lineari formati da un numero finito di punti: il rapporto tra 2 segmenti doveva corrispondere al rapporto tra i numeri interi che esprimevano quante volte il punto era contenuto in ognuno dei segmenti in questione; il punto era insomma il sottomultiplo comune di tutti i segmenti; tutti i segmenti erano cioè commensurabili fra loro, ed il loro rapporto era appunto il rapporto di 2 numeri interi, una frazione, un numero razionale.

L’idea aritmo-geometrica della corrispondenza numero-punto portava la matematica pitagorica a considerare l’estensione spaziale non continua ma discreta, corpuscolare, composta di unità estese indivisibili: tutte le grandezze erano tra loro commensurabili, e tra loro avevano rapporti comunque esprimibili con un numero razionale intero o frazionario, perché il punto esteso rimaneva l’irriducibile sottomultiplo comune di ogni possibile grandezza. Fu lo sviluppo della stessa matematica a mostrare i limiti della aritmo-geometria pitagorica. A proposito dell’aritmo-geometria pitagorica Bertrand Russell rilevava che Pitagora aveva inventato un sistema mirabile per i fatti da lui conosciuti, ma inadeguato rispetto all’incommensurabilità fra la diagonale e il lato del quadrato: quest’ultimo piccolo fatto contrastava con il sistema e al sistema rimase contrario anche quando Ippaso di Metaponto fu fatto annegare per averlo rivelato.

L’incommensurabilità di diagonale e lato di un quadrato emerge se si applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele formato da due lati e dalla diagonale del quadrato. Per il teorema di Pitagora il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Nel caso del triangolo rettangolo isoscele formato da due lati e dalla diagonale del quadrato l’ipotenusa e i cateti sono rispettivamente la diagonale e i lati; ma i lati di un quadrato sono uguali; per il teorema di Pitagora il quadrato costruito sulla diagonale è quindi 2 volte il quadrato costruito sui lati del quadrato. Estraendo la radice quadrata del doppio del quadrato costruito sui lati del quadrato si ottiene la diagonale del quadrato. Dalla diagonale del quadrato si ricava che il rapporto tra la diagonale ed il lato del quadrato è radice quadrata di 2. Se L è il lato e D è la diagonale del quadrato si ha così:

D/L = radice quadrata di 2.

Per dimostrare che il rapporto  fra la diagonale e il lato di un quadrato non può essere un numero razionale, e che quindi la radice quadrata  di 2 è un numero reale irrazionale e non il rapporto di due numeri interi, si ragiona per assurdo. Se la diagonale D e il lato L fossero commensurabili il loro sottomultiplo comune u vi sarebbe contenuto un differente numero intero di volte: cd volte nella diagonale e cl volte nel lato. Essendo c i fattori moltiplicatori comuni, per il teorema di Pitagora si avrebbe:

misura della diagonale al quadrato = 2(misura del lato al quadrato).

Essendo divisibile per 2, il quadrato della misura d della diagonale è un numero pari. Anche d è così un numero pari. Se n è un numero generico, un numero pari ha effettivamente la forma 2n ; un numero dispari ha invece la forma 2n + 1. Il quadratodi un numero pari è quindi un numero pari 2n, ed il quadratodi un numero dispari è un numero dispari 2n + 1.

Dunque, d è un numero pari. Il quadrato di un numero pari è però divisibile per 4. Posto d = 2n, essendo la misura della diagonale al quadrato = 2(misura del lato al quadrato), si ha così che anche l deve essere pari:

misura del lato al quadrato = 2(misura della diagonale al quadrato).

Posto l = 2m, allora d/l = 2n/2m . Essendo entrambi pari, il numero d e il numero l hanno in comune il fattore moltiplicatore 2. Tutti i fattori comuni erano tuttavia stati eliminati. Se d è un numero pari, allora l non può essere pari e deve quindi essere dispari. Se il lato e la diagonale del quadrato fossero commensurabili, il numero l dovrebbe così essere sia dispari che pari; ma un numero non può essere sia dispari che pari; la diagonale e il lato di un quadrato devono dunque essere incommensurabili.

Bertrand Russell poneva l’accento sul rilievo della scoperta pitagorica dell’incommensurabilità di diagonale e lato del quadrato: rispetto al sistema filosofico di Pitagora l’incommensurabilità fra la diagonale ed il lato di un quadrato poteva apparire solamente un piccolo fatto recalcitrante, ma Pitagora deve il diritto all’immortalità proprio a questo piccolo fatto piuttosto che al sistema, motivo di pura e semplice curiosità storica. Con la scoperta pitagorica dell’incommensurabilità della diagonale e del lato di un quadrato si entra effettivamente nella matematica pura. L’individuazione pitagorica dell’esistenza di grandezze incommensurabili comportava una nuova considerazione del punto geometrico e di conseguenza dell’estensione spaziale pura: matematicamente il punto perdeva ogni estensione e dimensione e lo spazio assumeva il carattere della continuità. Col riconoscimento del carattere continuo dell’estensione geometrica cadeva la vecchia idea pitagorica del punto esteso irriducibile sottomultiplo comune di ogni grandezza. Se le grandezze geometriche non sono costituite di un numero finito di punti estesi, se le grandezze geometriche non sono discrete ma continue e consistenti di infiniti punti privi di estensione e dimensioni, allora il numero intero non appare più pitagoricamente il solido fondamento. Con la crisi dell’artimo-geometria pitagorica dall’aritmetica la matematica greca si rivolge così alla geometria e nella geometria ripone la propria fiducia: gli sviluppi in senso geometrico della matematica greca rispondono alla progressiva esigenza di rigore della scienza pura.

Werner Heisenberg citava l’affermazione di Bertrand Russell di non conoscere nessun uomo più influente di Pitagora nel pensiero. Con la scoperta pitagorica delle grandezze incommensurabili non si poteva più pitagoricamente sostenere il primato del numero intero. La idea pitagorica della struttura matematica della realtà, della regolarità matematica delle cose, dell’ordine matematico della natura suggeriva nondimeno la matematizzabilità dell’universo, la applicabilità della matematica ai fenomeni, la matematica chiave per comprendere il mondo: il crollo della aritmo-geometria pitagorica ed il conseguente ingresso nella scienza pura portava anzi la matematica a sviluppare le potenzialità scientifiche.

La filosofia: le origini del termine e del pensiero

Termine la cui coniazione è tradizionalmente attribuita a Pitagora, “filosofia” (φιλοσοφíα, philosophìa) è “amore di sapere”, è aspirazione a conoscere: il legame della filosofia con la scienza è automatico. La prima filosofia fu così pura tensione a comprendere, stabilire razionalmente le cose. Fino a Parmenide o ad Eraclito il più immediato sforzo conoscitivo culmina in Pitagora.

Indagine razionale pura generalissima la filosofia poté offrire humus per lo sviluppo della scienza: soltanto una ricerca pura consente le astrazioni del pensiero scientifico. Le origini greche della scienza così coincidono e si confondono con le origini della filosofia. Una ricerca scientifica pura inizia in questo modo con la filosofia: nel pensiero occidentale l’indagine naturalistica è centrale. I primi pensatori così tentano una spiegazione razionale dell’intera realtà naturale.

I primi filosofi tentano i principi della realtà: nella molteplicità delle cose il pensiero restituisce l’ordine della natura quale risultato di una ricostruzione razionale: i principi indicati nel condurre ad unità la natura non sono per forza strettamente materiali: già nella scuola di Mileto all’acqua di Talete e all’aria di Anassimene si affianca l’indefinito (απειρον, Bag Crossbody Fashion Fami Splice Tote bag Messenger Shoulder shoulder Blu Sequined Leather Bag Argento Women Handbag Bag àpeiron) di Anassimandro.

La ricerca filosofico-scientifica dei principi di tutte le cose documenta la vocazione della filosofia all’astrazione. Se la riflessione sulla natura della scuola di Mileto può approdare all’indefinito di Anassimandro la crisi della aritmo-geometria apre alla tradizione pitagorica le possibilità della matematica pura.

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